声明：由于消息来源有限且可能有错漏，本文内容仅供参考，因为阅读本文进行投资所产生的损益，本人不负任何责任。

这个漫长的一年改变了很多事情，包括博主的生活，几乎唯一不变的是半导体行业继续增长的态势。互联网行业受益于疫情期间消费者在线生活的需求，计算中心-终端的计算形式得到巩固，硬件厂商收获大量订单。AMD 在打磨了多年产品之后，受惠于这样的形势，趁着 Intel 内乱（一个非常典型的管理失败的案例）的时机，继续前进。目前的股价是 80 美元 – 90 美元左右。

如果以老派投资机构又贪婪又吹毛求疵的眼光来看，今年的财报其实还存在“不足之处”，但总的来说当前的股价已经基本反映 AMD 作为一家不讲故事只靠实力的电子工业巨头的面貌。和一年前预测的保守股价相比，上涨了两倍有余。我预见到了股市的泡沫，但没有料到是在瘟疫的背景下，以及美联储近乎无耻的量化宽松操作，此消彼长。就目前收集到的信息来看，有几个方面值得关注：

在高性能计算市场所占份额的持续增长。听说有些云服务商提供的基于 AMD 服务器的云计算产品已经获得巨大的成功。
AMD 收购 xilinx 如果真实地成交，是一笔“血赚”的交易，甚至不需要去分析什么 “xilinx 的技术面”。另外，按个人观点来看，具有可靠运算能力的小型 x86 设备按照功耗来区分的话有三个关键节点：5W(5V 1A Max), 7.5W(5V 1.5A Max) 和 10W(5V 2A/12V 1A Max)。5W 是设备使用电池或直流电源的临界点，7.5W 和 10W 则是 x86 架构抵抗 ARM 的真正的战场。AMD 在 7.5W 这个功耗水平上缺少具有竞争力的产品，不管是什么架构。
中美贸易战过程中，AMD 基本没有受到国际政治带来的冲击，某些喜欢吹牛的大公司就比较容易成为牺牲品。。。
图形市场仍然是 NVIDIA 领先，但似乎已经出现某些扭转的信号
挖矿潮的复苏
PC/笔记本消费市场增长的逻辑在于：在高性能计算还未达到最终形态，小型计算设备的算力还无法满足需求的情况下，PC/笔记本作为折中了性能和体积的选择，存在着一个复苏的时期。

最后预测股价，两年以上的长期看到 150 美元每股。

氧气

Posted on 2020-07-102020-07-10 by chiccs

Math, theory and observation.

只要我想，我可以试着用形而上学重写一遍信息检索的基础：从黑格尔和费尔巴哈的著作里面搜刮几个词语，把容易理解的概念和演算法则说成是“理性精神”，把那些我看不懂的东西推说是“客观精神”，模型和算法就叫做“精神运动”；再花上钱或者人情，找个“AI自媒体”的公众号放上一篇像模像样的通告，取上诸如《XX点赞，大佬力挺，最新超越blahblah！》的标题，一样把麻瓜耍得团团转（所以我从未订阅这些公众号，作为一个平凡人，希望每天早上一睁眼就吃点好的，而不是面对那么多莫名其妙的“疾风”。如果按照新闻从业人员的职业规范，这些家伙没有一个能够上岗）。

然而自我陶醉的理论最终要接受现实的考验，在这之间架设名为评估的桥梁。科学是求错不犯错而不是求对，否则就容易陷入重言式的陷阱。我见过几篇研究“可解释性”的文章，粗略扫描我就知道他们可能进入了一个无法自拔的循环：在自己设计的体系里面不管怎么说怎么测试最终都是自己的结论对。就好比如果对 SDM 穷举参数值进行优化，它必然胜过 LM——单从数学的形式上说后者是前者退化的情况。这样的比较是毫无意义的，而要验证它们对于现实不同的观察和理解，再反推出结论。顺带一说，有一家国内公司之前招聘过专门研究“可解释性”的研究员，一开始我很赞赏该公司领导的眼界和魄力，但转念一想我就担心起担任这个职位的人，因为“解释性”是真正苍白的深渊。除了少数几个得到验证的东西以外，大部分的模型都是不知正误的，又如何在此基础上“解释”呢。Yann Lecun 最近在 Twitter 上评论 “PULSE 风波”说，用白人的数据集训练出来的模型当然结果输出是白人，用黑人的数据集训练出来的模型当然结果输出是黑人。这是很实在的话，但会让人怀疑这些理论到底是“智能”还是别的东西。

最近有一位老师在推广自己在几何方面的成果，讲解比较深奥的数学知识，顺便提到一些和“深度学习”可能的联系。他老人家传授的数学正确而且精彩，晚辈瞎掰的一些东西可能也要学习借用类似的步骤自圆其说，但每个学科都有自己的见解，否则这个世界只需要数学这一种科学了。有些文章的标题，自己迫不及待地加上了不少激进的词汇，结果还是老样子。这让我想起武侠电视剧的主角在荒郊野岭捡到一本“武林秘籍”之后对着空气瞎比划几下盯着自己的爪子得意傻笑的场景。从这方面思考，解释不仅是解释，否则某个“正确的解释”只会产生一样的结果，某种意义上说等于没有解释。所以求的不是解释，而是理解上的前进或不同。

根(Dead City, Mad Man)

Posted on 2020-07-012020-07-01 by chiccs

野火烧不尽，春风吹又生，练武先修德。

我只想做平庸的人，但所感受到这个世界的一些真实的恶意，使我只能一边记叙黑暗的片段，一边做超越想象的事情。

大蛇薙

Posted on 2020-05-012020-05-01 by chiccs

“流形检索”提要。

最近，我写的一篇文章进了 SIGIR 2020 这个会。它很短，对我来说是一个“锚”，这样以后写作的时候起码有资料可以引用，不用像民科一样没有根据地长篇大论。

这篇文章只想讲一件事：在连续的集合上可以定义“语言”。如此，所谓的“神经排序”就是连续点集上的统计语言模型，因此所谓的“end-to-end” 就是内蕴的性质。“结构”(structure)与“测度”(measure)是“新语义检索”的基础，它们分别概括了“表示法”(representation)和“模型”(retrieval model)这两个传统的概念。它必须收敛，收敛性是模型正确性和性能的一种估计。有些公司的什么“技术博客”总喜欢吹嘘“数据决定模型性能”这类有机械唯物主义意味的观点，奉之为“指导思想”，把自己的命运完全交给收集用户偶然的行为（这些用户行得通，那些用户呢？当然可以说自己的模型都能奏效，但这就不只是数据的问题），还有对 learning-to-rank 望文生义的涂改，不想多说，专心做生意吧。

流形上的概率论很早就有了，这与信息几何(information geometry)的发展有关，只是它们研究的大多都是参数空间的分布，本文反而考虑变量空间的事情。以前那些形如“xx learning/clustering on manifold”的文章，为了让梯度可以直接在曲面上更新，一定会用指数映射之类的方法。这些画蛇添足的内容我全都放弃了。从某种意义上说，直接更新梯度之后再把向量归一化再算测度，是一种“传输”，这暗示了那些 xx norm 之类的方法真正的含义。还有一些譬如 ngram 表示之类的问题，可以在复流形上解决，也可以用一些像向量一样的东西代替。

其实，这也和量子检索(quantum retrieval)有关，只是前面的人比较极端，试图用量子力学直接概括整个领域。

这篇论文的写作和发表可能得到了无法知晓的支持，在此顺带以真诚致谢。我从不打算靠做此类研究谋生。这个时代，智力正常的人都应该想出一百种赚钱的方式，在每个行业只要花足够多的时间和毅力，最后都能得到可观的财富，做到底就知道这其实是国家实力发展的结果。在一个动荡的社会里很难静下心来做事，这是我暂时离开香港的原因，无法一直在负面的情绪中工作和生活，这会扭曲人的心灵，神智将和社会一样撕裂。但我会认为，这篇论文是给香港社会的答谢，尽管它没有了不起的内容，我也只是很渺小的一个人，能够没有负担地走出去。

这是“拳皇”系列博文的结束，台湾知名格斗游戏选手“Nikolai 保力達”的视频给了我很多的乐趣，过段时间再写下个系列。

断丝与滑丝

Posted on 2020-03-312020-04-08 by chiccs

我经常折腾一些过时的设备，不免遇到断丝和滑丝。根据螺丝的大小和固定的环境，处理它们的办法有所不同。

“断丝”是指破损的螺丝，经常是螺丝头断掉。“滑丝”是指拧花而无法用正常的方法拧开的螺丝。

预处理

拧不开螺丝只有一个原因：出力太小。仔细来说又分为：1. 螺丝孔太“涩”，摩擦力极大。2. 使用者力气太小。 3. 因为螺丝孔破损导致力量无法传导到螺丝上。所以拧螺丝之前应该首先清洁物体表面和螺丝孔内部的缝隙。然后往螺丝上喷一些金属润滑剂（比如 WD-40）。但是太小的螺丝不应该喷这些东西，因为螺丝刀会打滑，找不到受力点。如果螺丝已经被严重拧花，喷润滑剂的目的是为了方便后面的破坏性处理方法。

工具

1. 电动螺丝刀

如果使用者力气太小，可以买一把电动螺丝刀，但是对严重拧花的小螺丝，使用电动螺丝刀会让情况变得更糟。

2. 迷你手电钻

迷你手电钻是一种可以单手握住的小功率电钻，经常用来在佛珠、手串和珠宝上面钻刻。再买一个比较大的钻头和一个锯片，可以解决大部分问题。手抖的人慎用，或者考虑使用迷你台钻。

3. PZ-55/57

PZ-55/56/57/…/60 系列螺丝钳专门用于处理螺丝帽外露于表面的情况，通过拧动整个螺丝帽而不是螺丝孔来解决问题，但它只能处理尺寸在 M3 以上的螺丝。事实上普通的铁丝钳也可以起到类似的作用。

4. 电烙铁和助焊剂

5. 断丝取出器（反丝）

形状

从形状上说，一字螺丝（slotted screw）是最好处理的，只需要用一字螺丝刀慢慢拧开；十字螺丝（philips screw）次之。即使是滑丝，使用者往往只需要一把刀头质地坚硬的上好螺丝刀，再用巧劲即可拧开，所谓“巧劲”是指用螺丝刀压住螺丝，并缓慢旋转刀头在螺丝孔内“靠到”合适的受力点。内六角（hex socket）的滑丝较难处理，因为被拧花的时候螺丝孔会呈现出一个类似圆形的“大坑”，几乎不存在受力点，但有时候可以用一把梅花螺丝刀（star socket/Torx socket）试试运气。

小尺寸的螺丝一般是平头螺丝（flat），中大尺寸的螺丝有平头的，也有圆头/圆扁头的形状（round/pan/truss），有时候又叫蘑菇头。坦白说，我觉得从防止滑丝的角度，最好的螺丝是内八角螺丝，兼容一字/十字/内八角三种螺丝刀，但是成本比较高，用的人也少。三角螺丝的性能也很好，这种形状几乎不会发生滑丝的情况，但是用的人更少。

尺寸

M1.4 ~ M3

这个尺寸区间的超小型螺丝常见于手表、光学镜头、电子设备（笔记本电脑、ipod 等等）。

对于手表来说，建议使用者直接联系经销商或厂家代为处理，因为他们可能有特制的工具，或者直接给你换新。自己处理得不偿失。（你们要相信瑞士、德意志和日本在精密机械行业的实力。。。）如果厂家不愿意处理的话，只能用手电钻钻掉，然后把被破坏的零件替换掉。

光学镜头的螺丝一般是刚好贴合镜头表面的平头螺丝，螺丝周边没有空隙，所以无法使用钳子夹住螺丝帽。对于 M3 尺寸的螺丝，可以用手电钻和锯片先在螺丝孔上锯一个“一”字形的槽，再用一字螺丝刀慢慢拧开。对于其他尺寸，或是因为螺丝内部有沙子（比如泡过海水的洋垃圾镜头）而拧不动的螺丝（电动螺丝刀也无法拧开的情况下），应该直接用手电钻钻掉螺丝帽。还有一种办法是把沿着螺丝帽边缘钻出一个圈，使得螺丝钳可以伸进去，但这对镜头损伤很大。

笔记本的螺丝中较难处理的是内陷式的螺丝，它们被拧在一个下陷的“洞”中，这个时候很难锯“一”字形的槽。如果螺丝所处的面板是塑料的，可以用电烙铁直接烧化螺丝附近的面板，然后用尖嘴钳夹住螺丝帽拧开，但是塑料面板融化会放出有毒气体，所以请在通风环境下操作。其他情况下直接用手电钻钻掉螺丝帽效果最佳，但要小心不要钻破附近的电路板。另一种办法是用比较长的锯子把螺丝柱锯断（适用于类似整块笔记本的 D 面外壳只剩下一个螺丝拧不开，但面板可以撑开的情况）。

对于一些像 ipod 这样的设备，如果钻掉螺丝，往往会损伤面板，这个时候建议用双面胶或光学胶水（比如无影胶和紫外线胶，因为移动小部件很花时间，如果用一般的胶水的话很快就凝固了不便操作）粘和面板，代替螺丝的作用。另一种办法是耐心地用小钳子和很硬的刀片把螺丝帽的边沿卷起来，然后夹住螺丝帽以极慢的力道拧动，这样做会非常浪费时间。

M3.5 ~ M6

这个尺寸区间的螺丝可以使用上面提到的所有处理方法。除此以外，还有一些奇技淫巧，比如用助焊膏或酸性腐蚀剂处理螺丝表面以后，将一把螺丝刀（最好是 T 型螺丝刀）焊接在螺丝上，等待焊锡冷却后直接拧动螺丝刀，此法需要保证螺丝不是很“涩”并且焊接得很牢固，否则会直接拧断焊锡或螺丝刀，反正我从来没成功过，可能是没遇到适合的场景。有一些支持小尺寸的断丝取出器也可以使用。对于比较难拧的平头螺丝，我认为灵活处理螺丝附近的面板比处理螺丝本身更重要。

> M6

除了使用螺丝钳以外，大于 M6 的螺丝最好的办法是用电钻配合小钻头在螺丝中心钻出一个深坑，然后使用断丝取出器。

NASDAQ:AMD 展望 2020：志趣与兴趣

Posted on 2019-12-152019-12-21 by chiccs

2016：https://lxsay.com/archives/249

2017：https://lxsay.com/archives/697

2019.02：https://lxsay.com/archives/1405

声明：由于消息来源有限且可能有错漏，本文内容仅供参考，因为阅读本文进行投资所产生的损益，本人不负任何责任。

经过不懈的努力，超微半导体（NASDAQ:AMD）可能来到了自身历史最好的时期之一，股价处于38-43美元每股的区间段。以高性能计算和游戏娱乐为主题的业务在一众高举“AI 赋能”大旗喊打喊杀的半导体企业中显得独树一帜。之前的文章中我喜欢使用“利弊”来分析企业的处境，但现在我觉得除了继续稳健财务、防止低价倾销式的市场营销和坚持技术路线以外，很难从财报等其他信息中得到更多的解读。Intel 所谓“不再追求 CPU 市场份额”的言论只是用来迷惑对手、为转型和更新工艺拖延时间的缓兵之计。这是企业发展难得的短暂平台期，可以开始思考长远的发展方向。

以有限的观察得出，推动早期硅谷发展的第一把火其实是嬉皮士文化、酒精和迷幻药物，这种精神力驱使拓荒者以物质来实现反叛。我用一种简单的二元论来描述电子工业的发展动力：志趣和兴趣。“志趣”是纯粹的推动社会劳动生产率无限上升以获得超额收益的意念，而“兴趣”则是纯粹的人类追求自由享乐的欲望在现实生活中的投射，它们都拥有满足与不被满足的属性。两者不断发展，相互纠缠，相互碰撞，相互转化。在某个时间段内无法被满足的兴趣孕育出无限的志趣，而在另一时间段内被满足的志趣则在衰减的过程中被转化为有限的兴趣。

举一个简单例子，以这种二元论看待，人工智能工业便是当下“志趣”的体现，不过似乎暂时没有足够的“兴趣”来推动它前进，连同自身的“超额收益”目前来看也很有限（毕竟这个世界上打游戏看视频的人永远要比在实验室看论文调模型的科研人员要多出无数倍，况且他们自己也需要一台电脑来打机纾解压力:)。这还需要一些时日才能发展到真正被社会需要的阶段。未来的十年，应该是在不断发展的社会生产力和更深刻的人类自我的反思中度过。我想让每个人都拥有便捷的先进计算能力和以部分个人趣味组织的展示形态是一件更具概括性、更激动人心的事情。

除此以外，有几个实务问题值得关注：

Ryzen 1~3 代推出的时间跨度很短。因为出货太急，中国市场上出现不同 generation 的 ryzen cpu 价格混乱的问题。适当指导市场和渠道，值得重视。长此以往，损失的是用户的信心，大家都会等着降价“捡垃圾”。
AMD 和“矿工”的关系很微妙，他们对股价的影响有时正面有时负面，相对其他厂商，这是一种奇特的优势。目前来看，受政府认可的合法“区块链”仍然是作为技术而不是独立的“挖矿”产业存在。以区块链搭建某种数据平台支撑某些业务的想法已经有了不少实践，硬件厂商适当跟进支持基础设施建设有利可图，这在 AMD 最近投资区块链游戏事业上有所体现。
Rocm 是一个非常浩大的项目，经过不懈努力现在已有人气，但离自发形成社群还有距离。个人认为关键在于完善以 “built from source codes” 为目标的库、接口和文档，这是产生自发性的重要基础。Rocm 是几乎开源的，而 CUDA 是几乎闭源的，商业策略完全不一样。（看了整个 rocm 的结构以后，估计英伟达为了 CUDA 前前后后应该雇佣了几倍多的人。）
和“小霸王”合作的失败微不足道。但复盘推敲，究竟是甲方对市场和产品设计没有把握清楚，还是乙方没理解甲方的需求，高估了芯片的能力？说实话，没有经过仔细的商业评估就给国内小厂商开发嵌入式芯片是很危险的，幸亏小霸王团队解散得早，否则那些应收账项最后都是灾难，还不如直接提供高性能的半高刀卡 + CPU 解决方案，或者大幅“官方超频”这种疯狂的办法。

最后预测股价，仍然坚持之前的估价。在无重大系统风险的情况下看到 45 美元每股，有风险预期的情况下保持 30 美元每股。但总的来说，预感中短期内美股市场有较大的泡沫，对投资者而言更应该谨慎追高，合理配置仓位。

鬼烧

Posted on 2019-11-092019-11-09 by chiccs

所谓“策略随机检索” (Strategic Random Retrieval)

本来，在这个系列的最后，我准备放上几个 runs，进行期待已久的“清算”。可是有个小朋友给我分享了自己好友在父母长达十余年外遇、家暴的历史下艰难生活的故事，告诉我要“be kind to others”。所以那种“灭门”的事情以后再说。现在想写关于 diversity 的故事。

这个世界充满了优胜劣汰，所有设计模型的人都想着如何 do the best estimation given observations. 供给信息的人则想着如何 maximize the importance of their features. 所以系统忙着 learning to rank，供给者忙着做 SEO，而用户则忙着辨认真切的结果和“充值”的结果。这个三方系统的内部成本在这样的内耗中不断增加。正确性和相关性、以及任何试图学习这两者的性质，最后都失去意义。

一种没有排序的检索从随机返回任何结果中产生。为了满足愉悦和可靠的目标，在最开始它可以从向传统的检索施加有策略的扰动开始。这种扰动可以是一种约束，也可以是一种行为。

**（当然我说的不是“转化率”。敢把转化率当成吹嘘的资本写进每次署名七八个作者的的学术论文里面也就只有国内几个胆子大的公司才能成就如此伟业。）

抄底-繁荣假设

Posted on 2019-10-052019-10-06 by chiccs

香港的政治风波发生以来，社会秩序和经济发展多少都受到影响。一些观望的市民有一种想法，觉得经济发展受到影响，楼价就会下跌，等到楼市“跌穿”的时候，自己再抄底“上车”，十分精明，甚至会觉得这是“上街做嘢”的“奖赏”。下面分析这样的假想是否有效：

考虑风波发生前的社会总供给和总需求曲线相交于一点，这表示经济达到均衡的水平。风波发生之后，总供给和总需求各自按不同的水平减少，两条曲线分别向左移动。无论移动的程度如何，新的相交位置都在原交点的左方，此时意味着均衡价格的下降。

此时消费者选择“抄底”，社会总需求上升，总需求曲线再次右移，这时新的交点将会向右移动，甚至可能超过风波前的均衡点。这时呈现出“繁荣”的景象。

然而，总供给和总需求由诸多内生变量决定，两者本身并不能简单地由消费意愿和行为变化控制。注意到这些风波带来的将是投资意愿的下滑、生产力的下降。如果没有对社会采取有效的措施，在这样的预期指引下，总供给和总需求将一直缓慢地下降，两条曲线将一直左移。长期来看，最终的位置将预示着非常低的均衡水平。以为抄底“大赚”的市民，可能会蚀本。也许有的人觉得可以在高位抛出离场，然而现实中的交易并非如此迅速，受到手续、税费多方面的影响，并且所有人都采取同一策略的时候，均衡点的移动将非常迅速，以至于决策者无法及时反应。

每个人都应该清楚自己无法真正地置身事外。楼市如此，更何况是劳动力市场，这时的均衡价格对应于每个人的工资。

自从“博弈检索”(IR game)的概念提出以来，出现了不少新的检索方法。不可否认这确实是崭新而有创造力的理论。其中有些使用经济学的术语来阐述自己的方法。它们给检索模型设置的“对手方” ，更像是一个他们自己意念中可以理解的模型参数的优化器(optimizer)，而非客观的实在。以至于模型没有内生变量和外生变量，不知道何为决定语义的第一与第二。就如同在两个凸集上各找一个点，通过不断地迭代点的位置来寻找两个凸包间的最短距离。这种情况下，反而用两个神经网络博弈显得更好，因为它们能够拟合复杂的特征。两个小孩博弈和两个成年人博弈虽然都能达到均衡，但学习能力的上限是不同的。这也是我觉得交互能为检索带来的性能提高仍然受到模型本身学习能力的影响。

七十五式改

Posted on 2019-09-142019-09-14 by chiccs

A toy retrieval model (H-RM0).

查询 $Q=q_1 q_2 .. q_n$ ，文档 $D=t_1 t_2 ... t_m$ 。假定 $S^{N-1}$ 上有 $n$ 个初始点各自符合分布 $\mathcal{N}(\mu_i , \sigma_i)$ ，还有 $m$ 个点表示文档词的位置。
选取 $S^{N-1}$ 上任意一个度规。对每个初始点和文档点，计算距离 $M_{ij}$ 。把 $M_{ij}$ 作为分布的变量，计算分数 $p_{ij}$ 。
对每个初始点 $i$ 使用“路径选择器” $M_{p}^{i}(p_{i1},p_{i2}, ... , p_{im})$
返回 $\sum {log M_{p}^{i}}$

这其实是什么呢，去掉了 learning to rank 层，并且相差一个输入线性变换的 K-NRM (Xiong et al., 2017)。K-NRM 对 “每一行” 都使用 $K$ 个核函数。如果设计得当， $K$ 也可以是内生变量。

本系列 posts 只用一些简单的概念讨论检索的输入和表示，还有两篇结束。下个系列使用几何工具进行信号的变换，它们对应一部分“隐层”的行为。

轹铁

Posted on 2019-08-152019-08-16 by chiccs

LambdaRank，与星形集的上同调。

节选 <Learning to rank with Non-smooth cost functions> (CJC Burges et al., 2007)

给定查询 $Q$ 与文档集，排序模型对文档集的所有文档打分，并产生长度为 $n$ 的 top- $n$ 结果（如果使用 two-stage strategy）。任何对此的重排序都是施加在其上的置换，因此这些结果关于所有重排序函数形成一个置换群。

LambdaRank 假定有隐式损失函数 $C$ 满足 $\frac{\partial_C }{\partial_{s_j}}=-\lambda_{j}(s_1,l_1,...,s_{n_i},l_{n_i})$ 。 $s_j$ 是搜索结果中第 $j$ 位的文档的排序分数。

显然函数 $C$ 必须是在空间 $(s_1,l_1,...,s_{n_i},l_{n_i})$ 中良好定义的，应该满足： $C=\int \lambda_{j} d_{s_j}, \forall j \in {1..n_i}$

想象在 $(s_1,...,s_{n_i})$ 张成的空间中，任意 $\lambda$ 都是定义在此空间的函数，于是上式是指 $\lambda$ 函数沿此空间内给定两点间的任意路径积分都能“还原”到损失函数 $C$ 。满足这样性质的空间称为“星形集” (star-shaped set)，这样的集合中存在一点，使得集合内所有点与该点的线段都属于该集合。进一步又有，

(1) $\begin{equation*} \frac{\partial_{\lambda_j} }{\partial_{s_k}} =\partial \frac{\frac{\partial_C }{\partial_{s_j}}}{\partial_{s_k}}=\partial \frac{\frac{\partial_C }{\partial_{s_k}}}{\partial_{s_j}}=\frac{\partial_{\lambda_k} }{\partial_{s_j}} \end{equation*}$

中间的等号成立是因为交换微分顺序不改变结果。所以关于所有 $\lambda_j$ 函数的 Jacobian 矩阵是对称的。如果损失函数 $C$ 是凸的，那么 $C$ 关于 $(s_1,...,s_{n_i})$ 的 Hessian 矩阵就是对称正定阵，自动满足以上条件。希望损失函数是凸函数的原因是因为这样可以使用梯度下降法找到最优解（……………..）

现在用微分拓扑的角度，考虑在空间 $(s_1,...,s_{n_i})$ 中的向量 $(\lambda_1,...,\lambda_{n_i})$ ，定义 1-形式 $\lambda=\sum \lambda_j d_{s_j}$ 。 $d_{s_j}$ 可以看作是一个“有向的”微元。 LambdaRank 的假定可以写成 $\lambda=dC$ ， $d$ 是外微分。想要找到满足假定的一般的 $\lambda$ 不容易，但是庞加莱引理 (Poincare’s lemma) 给出一个结论：在星形集中， $d\lambda=0$ 当且仅当 $\lambda=dC$ （每个闭形式都是恰当形式）。因此现在只需要寻找满足 $d\lambda=0$ 的 $\lambda$ 函数，具体来说，就是寻找合适的每个分量 $\lambda_j$ 。而这个条件，就等价于上面的 “Jacobian 条件”。