琴月 – chiccs's Blog

$V$ 在 $S^{n-1}$ 均匀分布， $U$ 是其上的固定点， $U \cdot V \sim ?$

定义累积分布 $F(X)=Pr(U \cdot V < x)$
以 $U$ 的正方向为轴，想象用一个垂直于 $U$ 并与其它 $n-1$ 个坐标轴平行的超平面，将 $S^{n-1}$ 截成两个部分
满足条件的点集构成 $S^{n-1}$ 上非球缺的部分

$F(x)=1-\frac{\frac{n\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}I_{1-x^2}(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2})}{\frac{n\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}}$

$I$ 是正则化不完全 Beta 函数

$I_{1-x^2}(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\int_{0}^{1-x^2}t^{\frac{n-3}{2}}(1-t)^{-0.5}}{\int_{0}^{1}t^{\frac{n-3}{2}}(1-t)^{-0.5}}$

$f(x)\propto (1-x^2)^{\frac{n-3}{2}}$

简单修改 $V$ 的分布条件，结论对 $S^{n-1}$ 上的任意分布几乎成立。从某种意义上说，所有使用 word embedding 而不考虑维度影响的 NLP/IR 模型都是有问题的。

开始名为新·语义检索的转向。

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